Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
3.2. FORMULAÇÃO 41
Temos agora x 1 = x 5 = 0, x 2 = 3, x 3 = 7, e x 4 = 11/4. O valor do objetivo
para esta solução é x 1 + 2x 2 = 6. Representamos também a função
objetivo como um vetor coluna c = ( 1 2 0 0 0 ) T , e a solução
x = ( 0 3 7 11/4 0 ) T . Assim, podemos expressar
⎛ ⎞
0
c T x = ( 1 2 0 0 0 ) 3
⎜ 7
⎟
⎝11/4⎠ = 6.
0
Conseguimos uma solução, com x 2 = 3, melhor que a inicial. Se incluirmos
x 1 também na base, a solução será ainda melhor. O algoritmo Simplex
determina quais variáveis devemos incluir e excluir da base a cada passo
de forma que cada solução seja melhor que a anterior, e que todas sejam
viáveis (garantindo assim que após um número finito de passos, obtenhamos
a solução ótima).
3.2 Formulação
No resto do texto, usaremos uma matriz A, m × n, e vetores coluna b com
m elementos e c com n elementos, de forma que programas lineares sejam
descritos como
max c T x
s.a.: Ax = b
x ≥ 0,
sendo x um vetor coluna com n elementos representando as variáveis
para as quais queremos obter valores que maximizem c T x.
Será útil dividir estes objetos (matriz A e vetores c e x) em duas partes:
as que se referem às variáveis da base (A B , c B , x B ) e as que se referem às
variáveis fora da base (A N , c N , x N ). Presumimos que as colunas de A e os
elementos de x e c sempre são reordenados de forma que as variáveis da
base estejam à esquerda das outras – isso nos garante que a base é representada
por uma submatriz m × m no lado esquerdo de A (isso apenas
facilita a exposição do assunto, não interferindo em nada mais):
A = ( )
A B , A N
Versão Preliminar
c T = (c T B , cT N )
x = (x B , x N )