Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
4.2. LEMA DE FARKAS 79
Demonstração. (i ⇒ não ii) Suponha que (i) valha, e Ax = b tenha
solução positiva. Se existe y tal que y T A ≥ 0, então
y T A ≥ 0 T
y T Ax ≥ 0 T x = 0 (porque x, Ay ≥ 0)
y T b ≥ 0 (Ax = b)
e o sistema (ii) não pode ter solução.
(não i ⇒ ii) – esta parte é omitida por ora.
Fica claro, do enunciado do Lema de Farkas, que ele tem forte relação
com o conceito de dualidade – o produto A T y, com y não restrito a
positivos, é parte da descrição do dual de Ax = b.
Exemplo 4.8. Sejam
⎛
1 3
⎞
2
⎛ ⎞
3
A = ⎝0 −1 4⎠ , b = ⎝5⎠ .
2 1 5
1
O sistema Ax = b só tem a solução x = (3, −5, 30/19) T , portanto o sistema
A T y ≥ 0 deve ter solução para algum y com b T y < 0. E realmente, a
solução y = (2, −3, 4) T nos dá
A T y = (10, 13, 12) T , yb = 3(2) + 5(−3) + 1(4) = −5.
Exemplo 4.9. O Lema de Farkas vale para quaisquer matrizes, não apenas
quadradas. Por exemplo, sejam
( ) ( 1 3 1
4
A =
, b = .
0 1 2
1)
As soluções deste sistema sào da forma
x 1 − 2x 3 = 1,
o que inclui a solução x = 5, 2) T . O sistema A T y ≥ 0 portanto não pode
ter solução com y T b < 0. Realmente,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 y 1 0
⎝3 1⎠
⎝y 2
⎠ = ⎝0⎠
1 2 y 3 0
Versão Preliminar
só tem a solução trivial, com y = 0.
◭
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