Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
13.2. OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES 181
iv) −x 2 1 + 4x 1 − x 2 − 4 ≤ 0
4x 2 1 − 16x 1 + x 2 + 4 ≤ 0
Pode-se inferir destas condições que λ 1 = 0 e λ 2 = 1.
i) Temos
−λ 2 (8x 1 − 16) − λ 1 (4 − 2x 1 ) + 1 =0
λ 1 − λ 2 + 1 =0
A segunda condição é trivialmente satisfeita. Verificamos a primeira:
ii) Trivialmente, os dois λ são ≥ 0.
−(8x 1 − 16) + 1 = −(17 − 16) + 1 = 0.
iii) Como λ 1 = 0 a primeira equação é satisfeita. Para a segunda, com
λ 2 = 1, temos
4x 2 1 − 16x 1 + x 2 + 4 = 0
iv) Para a primeira inequação,
−x 2 1 + 4x 1 − x 2 − 4 = −11.953125 ≤ 0.
A segunda já verificamos no item anterior.
Já verificamos as condições necessárias. Agora usamos a condição de segunda
ordem, que pode nos garantir que de fato a solução é ótima. O
problema é de maximização, por isso verificamos agora que a hessiana
∇ 2 xxL(x, λ) é negativa semidefinida. A Hessiana é
∇ x L(x, λ) = (−λ 2 (8x 1 − 16) − λ 1 (4 − 2x 1 ) + 1, λ 1 − λ 2 + 1)
( )
∇ 2 2λ1 − 8λ
xxL(x, λ) =
2 0
.
0 0
Para qualquer vetor v = (v 1 , v 2 ) T ,
( ) ( )
v ∇ 2 xxL(x, λ) v T 2λ1 − 8λ
= v
2 0
0 0
Substituindo os valores de λ, temos
( )
v ∇ 2 xxL(x, λ) v T = −8v 2 1 ≤ 0,
Versão Preliminar
o que nos garante que a solução é realmente um ótimo local.
Observe que a Hessiana não depende de x 1 ou x 2 . ela será semidefinida
negativa independente do ponto onde estivermos.
◭
v T