Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
26 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS
A seguir damos uma demonstração formal desse Teorema.
Demonstração. (do Teorema 2.36).
S tem um número finito de pontos extremos, que denotamos 1 x ∗ 1 , x∗ 2 , . . . , x∗ p.
Seja x 0 um ponto viável maximizando c T x em S:
∀x ∈ S, c T x 0 ≥ c T x.
Suponha que x 0 não é ponto extremo. Então x 0 pode ser descrito como
combinação convexa dos pontos extremos de S.
x 0 =
p∑
λ i x ∗ i , λ i ≥ 0, ∑ λ i = 1
i=1
Seja então x ∗ r o ponto extremo com maior valor objetivo. Então,
)
( p∑
c T x 0 = c T λ i x ∗ i
i=1
p∑ )
= λ i
(c T x ∗ i
≤
i=1
p∑ )
λ i
(c T x ∗ r
i=1
= c T x ∗ r
= c T x ∗ r.
Temos então c T x 0 ≤ c T x ∗ r. Como x 0 é ótimo, c T x 0 = c T x ∗ r, e existe o ponto
extremo x ∗ r onde o valor do objetivo é ótimo.
Representamos as restrições de um problema na forma matricial como
Ax = b. A matriz A normalmente terá m linhas e n colunas, com n > m.
Presumiremos que o posto da matriz é m – caso não seja, sempre podemos
eliminar uma das restrições.
Cada coluna de A representa uma variável. Como a matriz tem posto
m, podemos tomar m colunas LI (ou m variáveis), formando uma matriz
quadrada B, de ordem m, e resolver o sistema
Versão Preliminar
p∑
i=1
Bx B = b,
1 Insistimos em mostrar os pontos como vetores!
λ i