Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
12.4. MÉTODO DE BEALE 165
Ao escolher a variável a sair da base em otimização linear, tomamos o
menor dos valores
b i
a ij
Em um problema com função objetivo quadrática, devemos além disso
garantir que a derivada da variável x j não mude de sinal.
Teorema 12.8. Seja min x T Cx s.a. Ax ≥ b, x ≥ 0 um problema de programação
quadrática e suponha que uma solução viável básica para o problema
seja tal que a variável x j deve entrar na base em um próximo passo
do Simplex.
Para que a nova solução seja viável e que sua derivada não mude de
sinal, seu valor deve ser o menor dentre
{ }
bi
min e q i1
.
i a ij q ii
Demonstração. Seja g(x j ) a função quadrática definida quando fixamos
todas as variáveis do objetivo exceto x j . Temos
g(x j ) = q jj x 2 j + q j1x j + k.
O vértice da parábola 1 descrita por g está em
x j = −q j1
,
2q jj
já que os coeficientes de x 2 j e x j são q jj e q j1 .
Como x j era não básica, tinha valor zero; como já sabemos que vale a
pena incluir x j na base, a derivada direcional do objetivo em relação a x j
é negativa (aponta para o vértice da parábola). Ao mudarmos continuamente
o valor de x j , uma de duas coisas acontecerá primeiro:
• O valor de x j chegará a min i
{
bi
• A derivada ∂g
∂x j
a ij
}
mudará de sinal ao atingirmos o vértice da parábola.
Versão Preliminar
1) Comece com uma solução viável básica, da mesma forma que no
método Simplex;
1 O vértice da parábola descrita por ax 2 + bx + c é (−b/2a, −∆/4a), onde ∆ = b 2 − 4ac
é o discriminante.