Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
74 CAPÍTULO 4. DUALIDADE
Exemplo 4.2. Determinaremos o dual do seguinte problema.
max x 1 + 2x 2 + x 3
s.a.: x 1 − 3x 2 = 5
− x 1 + 2x 2 − x 3 ≤ 3
x ≥ 0.
A primeira restrição é uma igualdade, portanto a transformamos em duas
desigualdades,
{
x 1 − 3x 2 ≤ 5
x 1 − 3x 2 = 5 =⇒
−x 1 + 3x 2 ≤ −5,
obtendo
max x 1 + 2x 2 + x 3
s.a.: x 1 − 3x 2 ≤ 5
− x 1 + 3x 2 ≤ −5
− x 1 + 2x 2 − x 3 ≤ 3
x ≥ 0.
Agora podemos obter o dual do problema:
min 5y 1 − 5y 2 + 3y 3
s.a.: y 1 − y 2 − y 3 ≥ 1
− 3y 1 + 3y 2 + 2y 3 ≥ 2
− y 3 ≥ 1
y ≥ 0.
No entanto, este programa linear tem tres variáveis, e o primal do qual
partimos originalmente tem duas restrições apenas.
◭
O Exercício 38 pede a demonstração do Teorema 4.3, que consiste na
formalização do que foi visto no exemplo anterior.
Teorema 4.3. Considere um programa linear de maximização. É possível
obter um programa linear dual a este, mas com o número de variáveis do
dual exatamente igual ao número de restrições do primal. Se a i-ésima
restrição do primal é uma
Versão Preliminar
• igualdade: então a variável correspondente y i no dual será livre (ou
seja, poderá assumir valores negativos)
• desigualdade ≥: então a variável y i do dual assumirá valores ≤ 0.