Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
78 CAPÍTULO 4. DUALIDADE
z
b
Mostramos na figura apenas a 1 e a n ; os outros vetores a i estão entre
eles; o semiespaço determinado pela linha leve consiste dos vetores
com ângulo menor que 90 o com b; o cone à esquerda e abaixo é
formado pelos vetores com ângulo maior ou igual que 90 o com o
cone de A.
Assim, existe z tal que
– o ângulo entre colunas de A e z é maior que 90 o , logo A T z ≤ 0;
– o ângulo entre b e z é menor que 90 o , logo b T z > 0.
Se tomarmos y = −z, teremos então A T y ≥ 0 para algum y tal que
b T y < 0.
Embora a discussão geométrica até este ponto possa ser convincente
para o caso em que tratamos de vetores em R 2 , enunciamos e demonstramos
algebricamente a seguir o Lema de Farkas.
Lema 4.7 (de Farkas). Sejam A uma matriz e b um vetor, sendo que o número
de linhas de A é igual à quantidade de elementos de b. Então exatamente
um dos dois sistemas a seguir tem solução.
i) Ax = b, para algum x ≥ 0.
Versão Preliminar
ii) y T A ≥ 0 para algum y tal que b T y < 0.
Esta demonstração está incompleta. Outra demonstração diferente
será usada em uma futura versão do texto.
a 1
a n