Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
6.2. PONTOS INTERIORES 103
6.2 Pontos interiores
O método Simplex percorre diferentes pontos extremos do poliedro até
encontrar a solução ótima para um programa linear.
Há métodos para resolução de problemas de programação linear que
trabalham somente com pontos interiores do poliedro.
6.2.1 Affine scaling
Suponha que o problema esteja na forma
max c T x s.a.: Ax = b
O algoritmo começa com um ponto viável, muda a escala de forma que
o ponto passe a ser um vetor unitário e o move na direção do gradiente
do objetivo, garantindo que o valor da nova solução será melhor e que o
novo ponto também será viável. Em cada iteração, temos um ponto viável
x. Mostraremos como obter o próximo ponto x ′ . Primeiro mudamos a
escala do problema para que o ponto passe a ser o vetor unitário: se x =
(x 1 , x 2 , . . . , x n ), então definimos
⎛
⎞
x 1 0 . . . 0
0 x 2 . . . 0
D = ⎜
⎝
.
. ..
⎟
. ⎠
0 0 . . . x n
O ponto modificado é y = D −1 x, de forma que
⎛ ⎞
1
y = D −1 1
x = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ = e.
1
Dizemos que o algoritmo trabalhará tanto no espaço-x como no espaço-y.
Temos portanto o problema A(Dy) = b, ou (AD)y = b. Fazemos S =
AD, e o novo programa linear é
max c T y
s.a: Sy = b
y ≥ 0
Versão Preliminar