ProgramaÃ§Ã£o Linear (e rudimentos de otimizaÃ§Ã£o nÃ£o-linear)

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notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 36 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS Ex. 12 — Sejam a e b dois pontos. O conjunto de pontos que não são mais próximos de b do que a é {x| dist(x, a) ≤ dist(x, b)}. Este conjunto é convexo Ex. 13 — Determine precisamente quando um subconjunto de R 2 definido por um conjunto de inequações quadráticas {(x, y) : y ≤ ax 2 +bx+c} é convexo. Generalize para mais que duas dimensões. Ex. 14 — Prove o lema 2.49. Ex. 15 — Mostre que o conjunto de todas as matrizes semidefinidas positivas é convexo. Ex. 16 — Mostre que uma função f em R n é linear se e somente se f é convexa e côncava. Ex. 17 — Mostre que nenhuma função polinomial de grau ímpar maior ou igual a 3 e em uma variável é convexa. Ex. 18 — Determine se são convexas: i) f(a, b) = e a + log(b) ii) g(a, b) = e a − log(b) iii) h(a, b) = e a e b iv) j(a, b) = log(a) log(b) Ex. 19 — Prove que f(x) = x 2 1 /x 2 é convexa em R 2 onde x 2 > 0. Ex. 20 — Identifique subdomínios onde as funções são convexas: i) f(x, y) = sen(x) + cos(y) ii) g(x, y) = sen(x) cos(y) iii) h(x) = x log(x) iv) j(x, y, z) = e x − z log(y) v) k(x, y, z) = e x − log(xy) + z 2 Versão Preliminar Ex. 21 — Prove o Teorema 2.44. Ex. 22 — Prove o Teorema 2.45. Ex. 23 — Suponha que queiramos otimizar uma função linear, sujeita a restrições estritamente não lineares. Se soubermos que a região viável é
notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 2.3. FUNÇÕES CONVEXAS 37 convexa, quantas soluções ótimas podemos ter, no máximo E se a região viável não for convexa Ex. 24 — Suponha que saibamos que um problema de programação linear é viável e limitado, e portanto tem solução ótima. Sem tentar resolvê-lo, há como verificar se ele tem somente uma ou infinitas soluções ótimas Ex. 25 — Seja R[x] o conjunto de todos os polinômios em x com coeficientes reais. Seja S o subconjunto de R[x] que são positivos no intervalo [0, 1]. Mostre que S é convexo. Versão Preliminar
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