Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
120 CAPÍTULO 7. PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Teorema 7.8. Quando todos os a i e b j são inteiros, os valores das variáveis
básicas para qualquer base serão também inteiros.
7.3 Algoritmo para solução do problema de transporte
O método Simplex revisado pode ser adaptado para explorar o fato da base
ser triangular.
O dual do problema de transporte descrito em (7.1) é
max ∑ i≤m
a i u i + ∑ j≤n
b j v j
s.a. : u i + v j ≤ c ij
u ∈ R m
v ∈ R n
Note que o vetor objetivo no dual foi particionado, para refletir mais claramente
a estrutura do problema. As variáveis do dual são os u i (associados
às linhas superiores da matriz de restrições do primal) e os v j (associados às
linhas inferiores). As variáveis do dual são, como já vimos anteriormente,
os coeficientes reduzidos de custo do primal.
Considere (7.2). Se x ij é básica, então a coluna correspondente em A
terá exatamente duas entradas +1: uma na linha i e uma na linha j.
u i + v j = c ij
Ou seja, os coeficientes reduzidos de custo são u i + v j − c ij .
Se c ij − u i − v j < 0, podemos melhorar a solução aumentando o valor
da variável não básica que viola o critério de otimalidade. Suponha que
esta seja x pq , e que c pq − u p − v q < 0. Aumentamos x pq em uma quantidade
Θ. Com isso a solução torna-se inviável, já que as somas de linhas e
colunas devem ser iguais aos a i e b j . Alguma variável na mesma linha ou
na mesma coluna que x pq deve ser reduzida em Θ. Mas suponha que tenhamos
retirado Θ de uma variável na mesma linha que x pq . Agora haverá
uma outra coluna onde falta Θ. Modificamos esta coluna, e assim sucessivamente
até que tenhamos chegado novamente à linha p, formando um
ciclo.
Versão Preliminar