Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
126 CAPÍTULO 8. TEORIA DOS JOGOS
tado.
O jogo a seguir nos dá um primeiro exemplo. O jogador A e o jogador
B devem escolher entre duas cores – preto e branco – em cada rodada.
Quando as cores coincidem, o jogador A ganha. Quando não coincidem, o
jogador B ganha. A matriz de pagamentos é mostrada a seguir. Chamamos
o jogador A de “jogador linha”, porque suas opções estão à esquerda, uma
por linha. O jogador B é o “jogador coluna”, porque suas escolhas estão
acima, uma por coluna.
preto branco
preto +1 −1
branco −1 +1
Um exemplo mais elaborado é dado a seguir. O jogador A tem quatro opções
de estratégia, e o jogador b tem três.
b 1 b 2 b 3 min
a 1 −2 4 8 −2
a 2 1 3 4 1 ←
a 3 −3 −6 5 −6
a 4 −1 3 2 −1
O menor valor em cada linha é o menor valor que resulta daquela estratégia
– e portanto f(i) = min j c ij representa o valor mínimo assegurado pela
estratégia i. A estratégia a 1 garante retorno de no mínimo −2; a 2 garante
retorno mínimo de 1; e assim por diante. Jogando de forma pessimista, o
jogador A claramente quer o maior dos retornos mínimos – ou seja,
arg max min a ij .
j
i
A estratégia a 2 é a que garante o maior retorno mínimo para A. O menor
valor que o jogador-linha pode garantir para si, então, é max i min j a ij ,
chamado de valor maxinmin. Presumindo que A sempre usará a mesma
estratégia, sua melhor opção é escolher sempre a estratégia a 2 .
O jogador B realiza a mesma análise, e escolhe sua estratégia, min i max j a ij
– garantindo um retorno mínimo que chamaremos de valor minimax:
b 1 b 2 b 3 min
a 1 −2 4 8 −2
a 2 1 3 4 1 ←
a 3 −3 −6 5 −6
a 4 −1 3 2 −1
max 1 4 8
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