Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
4.2. LEMA DE FARKAS 77
Relembramos que a multiplicação de uma matriz por um vetor coluna
descreve a combinação linear das colunas com os coeficientes dados no
vetor:
⎛ ⎞
x 1
(
Ax = a 1 , a 2 , . . . , a n) x 2
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
x n
= x 1 a 1 + x 2 a 2 + · · · + x n a n .
Assim, o cone gerado pelas colunas de A é o conjunto de combinações
positivas de suas colunas, ou
{ }
Ax, x ≥ 0 .
O Lema de Farkas (Lema 4.7) representa a essência da dualidade em
programação linear. O Lema diz, geometricamente, que dados n vetores,
um vetor qualquer x pode estar dentro do cone (e neste caso será combinação
positiva dos outros) ou fora do cone (quando é combinação não
positiva dos outros) – e nunca ambos ao mesmo tempo.
Em essencia, o Lema de Farkas diz que o vetor b pode pertencer ao
cone gerado por A ou não.
Seja S a revião viável, definida por um programa linear Ax = b. Então
exatamente uma das duas situações ocorre:
i) b pertence ao cone gerado por A, portanto temos Ax = b, com x ≥ 0
(porque para pertencer ao cone deve ser combinação positiva das
colunas de A).
a n
b
a 1
Versão Preliminar
ii) b não pertence ao cone gerado por A. Neste caso, deve haver algum
z, formando ângulo menor que 90 o com b, mas formando mais de
90 o com o cone definido por A.