Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
13.2. OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES 179
Disso obtemos a definição do Lagrangeano:
Definição 13.11 (Lagrangeano). Seja λ o vetor (λ 1 , . . . , λ m ) T . O Lagrangeano
para o problema é a função
13.2.2 Dualidade
L(x, λ) = f(x) − ∑ λ i g i (x).
Elaboramos agora o conceito de dualidade para problemas de otimização
não linear.
Definição 13.12 (Dual de problema de otimização não linear). Para o problema
de otimização não linear
a função dual é
e o problema dual é
sem restrições.
min f(x)
s.a. : g i (x) ≥ 0
i = 1, . . . , k
L(λ) = inf L(x, λ)
x
max L(λ),
13.2.3 Condições de otimalidade
Nesta seção tratamos das condições de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker.
Estas são, basicamente, uma aplicação do método dos multiplicadores de
Lagrange para a determinação de ótimos locais.
Enunciamos as condições necessárias de primeira ordem para otimalidade,
sem demonstração.
Teorema 13.13 (Condições necessárias de primeira ordem (Karush-Kuhn-
-Tucker) para otimalidade). Se a função objetivo e todas as restrições são
diferenciáveis em um ótimo local x ∗ , então existe λ = (λ 1 , . . . , λ m ) tal que
i) ponto estacionário: ∇ x L(x ∗ , λ) = 0
ii) viabilidade dual: λ i ≥ 0
Versão Preliminar