Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
2.3. FUNÇÕES CONVEXAS 35
Exemplo 2.56. Seja f(a, b) = a 3 + b 2 . Construímos a Hessiana no ponto
(a, b),
( )
∇ 2 6a 0
f(a, b) =
0 2
Os autovalores são 6a e 2. Quando a for menor que zero, o primeiro autovalor
será negativo, e f não é convexa.
No entanto, podemos dizer que f é convexa se tiver seu domínio restrito
a a ≥ 0.
◭
Notas
Normalmente livros abordando Otimização Convexa (inclusive Programação
Linear) tratam de Análise Convexa e sua relação com otimização. Por
exemplo, os livros de Sinha [Sin06], Matousek [MG06] e Luenberger [Lue10]
tratam do assunto.
O Teorema 2.52 é demonstrado em diversos livros de otimização não
linear – por exemplo nos livros de Mokhtar Bazaraa, Hanif Sherali e C. M.
Shetty [BSS06] e de Andrzej Ruszczyski [Rus06].
Os livros de Alexander Barvinok [Bar02] e de Steven Lay [Lay07] abordam
detalhadamente o tópico de Convexidade. O livro de Dimitri Bertsekas
e Angelia Nedic [BN03] também aborda convexidade e sua relação
com otimização. Uma discussão em maior densidade de conjuntos e funções
convexas é encontrada no livro de Rockafellar [Roc96].
Exercícios
Ex. 8 — Mostre como construir um poliedro com ( )
n−k
m vértices, para qualquer
1 ≤ k ≤ n e quaisquer m, n, com n ≥ m, descrevendo o poliedro
como interseção de semiespaços.
Ex. 9 — Dissemos que um conjunto S de pontos é convexo se e somente
se para toda reta r, S ∩ r é um único segmento de reta (ou seja, conexo).
Demonstre que esta definição é equivalente à definição 2.9.
Versão Preliminar
Ex. 10 — Demonstre o que falta do Teorema 2.23.
Ex. 11 — Mostre que para quaisquer a, b, c, α, β, γ, com a, α > 0, a interseção
dos conjuntos {(x, y) : y < −ax 2 + bx + c} e {(x, y) : y > αx 2 + βx + γ}
em R 2 é convexa.