Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
2.3. FUNÇÕES CONVEXAS 31
2.3 Funções Convexas
Nesta seção tratamos brevemente de funções convexas, que são importantes
para o desenvolvimento da teoria de otimização não linear.
Definição 2.43 (Função convexa). Uma função é convexa se seu epigrafo
é convexo. Uma função f é côncava se −f é convexa.
A figura a seguir mostra o epigrafo da função convexa f(x) = x 2 −3x+3.
f(x)
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
x
Teorema 2.44. Se f : R n → R é convexa e Dom(f) é convexo, então
λf(x) + (1 − λ)f(y) ≥ f(λx + (1 − λ)y)
para todos x, y ∈ Dom(f) e todo λ ∈ [0, 1].
Teorema 2.45. Se f 1 , f 2 , . . . , f m : R n → R são convexas, então também são
convexas
g(x) = max{f i (x)}
h(x) = ∑ f i (x)
O teorema 2.46 nos dá uma segunda caracterização de funções convexas.
Teorema 2.46. Uma função f com domínio D ⊆ R n é convexa se e somente
se, para todos x 1 , x 2 ∈ D, e para todo λ ∈ [0, 1],
f(λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≤ λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ).
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