Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
32 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS
Definição 2.47. Seja A uma matriz quadrada simétrica. A é semidefinida
positiva se x T Ax ≥ 0 para todo x. A é definida positiva se x T Ax ≥ 0 para
todo x ≠ 0. E A é indefinida se x T Ax assume valores positivos e negativos.
Alternativamente, uma matriz é semidefinida positiva se todos seus
autovalores são não-negativos.
Definição 2.48 (Matriz Hessiana). Seja f : R n → R duas vezes diferenciável.
A matriz Hessiana de f em x, denotada por H f (x) ou ∇ 2 f(x) é a forma
bilinear
∇ 2 (x) i,j = ∂2 f(x)
,
∂x i ∂x j
ou
⎛
∂ 2 f
(x)
∂x 2 1
∂
∇ 2 2 f
∂x
f(x) =
2 ∂x 1
(x)
⎜ .
⎝
∂ 2 f
∂x n∂x 1
(x)
∂ 2 f
∂
∂x 1 ∂x 2
(x) . . . 2 f
∂ 2 f
∂x 2 2
∂x 1 ∂x n
(x)
(x) . . .
∂ 2 f
∂x 2 ∂x n
(x)
.
. ..
∂ 2 f
∂
∂x n∂x 2
(x) . . . 2 f
∂x 2 n
(x)
Versão Preliminar
⎞
.
⎟
⎠
Lema 2.49. Seja S um subconjunto não vazio, aberto e convexo de R n .
Seja f : S → R diferenciável. Então f é convexa se e somente se, para todos
x, x ′ ∈ R n ,
f(x ′ ) ≥ f(x) + ∇(f(x)) T (x ′ − x).
O Lema 2.49 nos diz que f é convexa se e somente se seu gráfico está
sempre acima de qualquer plano tangente a ele – ou seja, que seu epigrafo
é convexo.
Exemplo 2.50. A função f(x) = 2x 2 + 1 é convexa, já que sua Hessiana é
∇ 2 f(x) = ( 4 ). Verificamos que, de fato,
f(x) + ∇(f(x)) T (x ′ − x) = f(x) + 4x(x ′ − x)
= 2x 2 + ( 4x )( x ′ − x )
= 2x 2 + 4x(x ′ − x)
= 2x 2 + 4xx ′ − 4x 2 ≤ 2(x ′ ) 2
Além de verificar algebricamente, observamos o gráfico de f(x) e percebemos
que realmente, os planos tangentes sempre ficam abaixo do gráfico.