Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
3.9. OBTENDO UMA SOLUÇÃO VIÁVEL BÁSICA INICIAL 57
Demonstração. Trivialmente, se 3.3 é viável 3.4 também tem ótimo com
y = 0. Se y = 0, claramente podemos desprezar y obtendo solução viável
para 3.3.
Se 3.4 tem ótimo com y > 0, não há como diminuir y mantendo a
solução viável: note que as variáveis y i funcionam como variáveis de folga
para o problema original, 3.3:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n
[
+ a1n+1 y 1
]
= b1 ,
e se houver algum y i > 0, temos uma variável de folga sendo usada. Isso
significa que o lado esquerdo de uma das restrições deve ser estritamente
menor que o direito:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n < b 1 ,
mas o problema original, 3.3, não tem estas variáveis de folga, e portanto
é inviável.
Resolver 3.4 é fácil, com solução básica inicial y = b. A solução final,
se houver, não terá variáveis y i na base (porque o mínimo do objetivo se
dá com y = 0), e portanto serve para 3.3.
Exemplo 3.15.
max : 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 + x 4
s.a.: 2x 1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 2
x 2 + x 3 − x 4 = 4
4x 1 + 2x 2 − 8x 3 + 4x 4 = 8
x ≥ 0
Como não conseguimos facilmente uma solução viável básica, usamos o
método das duas fases. Inicialmente resolvemos o problema a seguir.
min : y 1 + y 2 + y 3
s.a.: 2x 1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 + y 1 = 2
Versão Preliminar
x 2 + x 3 − x 4 + y 2 = 4
4x 1 + 2x 2 − 8x 3 + 4x 4 + y 3 = 8
x, y ≥ 0