Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
86 CAPÍTULO 4. DUALIDADE
Assim, para j > m,
^y T a j = (y T + εB i )a j
= y T a j + εB i a j
= y T a j + εa ij
= z j + εa ij .
Se a ij ≥ 0,
e a solução é viável para o dual.
Para j ≤ m e i = j,
Assim,
^y T a j > z j > c j ,
^y T a j = (y T + εB i )a j
= y T a j + εB i a j
= y T a j + ε.
^y T a j > z j > c j ,
e novamente a solução é viável para o dual.
No entanto, se a ij ≥ 0 para todo j > m, por 4.1 o dual é ilimitado, porque
y T b → −∞ quando ε → ∞.
Se a ij < 0 para algum j > m, podemos escolher ε de forma a manter a
solução viável. Queremos
∀j > m,
z i − εa ij ≤ c j
e portanto escolhemos
{ }
zj − c j
ε ≤ min : j > m, a ij < 0 .
j a ij
Como aumentando ε melhoramos a função objetivo do dual, escolhemos
{ }
zj − c j
ε = min : j > m, a ij < 0 .
j a ij
Seja k o índice que minimiza a expressão. Podemos verificar que ε melhorou
o objetivo do dual tanto quanto era possível:
Versão Preliminar
^y T a k = z k − εa ik
= z k − (z k − c k )
= c k .
a ik
a ik