Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
1.1. FORMA PADRÃO 5
1.1 Forma padrão
Na maior parte do tempo, presumiremos que o programa linear está na
seguinte forma.
max c 1 x 1 + c 2 x 2 + · · · + c n x n
s.a. : a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m
e x i ≥ 0 para alguns i.
Mostramos agora como transformar qualquer programa linear em outro
equivalente na forma padrão.
• Maximização/minimização: notamos que min c T x é o mesmo que
max −c T x.
• Desigualdades: considere a restrição
a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n ≥ b i .
Esta desigualdade pode ser transformada em
a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n − s i = b i ,
.
s i ≥ 0
Chamamos s i de variável de folga quando a desigualdade vale com o
lado direito igual ao esquerdo, temos s i = 0. Quando o lado direito
da desigualdade é menor que o esquerdo, temos s i > 0. Da mesma
forma, podemos transformar
em
a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n ≤ b i .
Versão Preliminar
a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n + u i = b i .
• Variáveis com valores negativos: se, em uma solução, uma variável x i
puder ser negativa, usamos duas variáveis positivas para representála.
Fazemos x i = p − q, com p, q ≥ 0.