Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
122 CAPÍTULO 7. PROBLEMAS DE TRANSPORTE
Teorema 7.9. Seja x uma solução viável básica para um problema de designação.
Então as variáveis básicas em x tem valor zero ou um.
Demonstração. A solução é inteira por se tratar de um problema de transporte;
e é composta de zeros e uns porque o lado direito das restrições é
um e os x ij não podem ser negativos.
O algoritmo para problemas de transporte descrito anteriormente neste
Capítulo não é a melhor opção para problemas de atribuição, porque neste
tipo de problema as soluções são naturalmente degeneradas (cada x ij é
igual a zero ou um). Há um algoritmo melhor, chamado de “método Húngaro”.
Teorema 7.10. Se uma constante for somada a uma das linhas ou colunas
da matriz de custos de um problema de designação, a solução ótima
permanece a mesma.
Demonstração. Demonstramos o fato para linhas, sendo que para colunas
o desenvolvimento é semelhante.
Seja C a matriz de custos do problema original com valor ótimo z. Somamos
α a uma linha de C, obtendo a matriz C ′ . Ao calcularmos o valor
ótimo, a única mudança será na linha i, onde teremos
(c i1 + α)x i1 + (c i2 + α)x i2 + . . . = c i1 x i1 + αx i1 + c i1 x i2 + αx i2 + . . .
= c i1 x i1 + c i1 x i2 + . . . + α ∑ j
= z + α ∑ j
= z + α.
O último passo segue de ∑ j x ij = 1.
Como o valor objetivo é apenas aumentado por uma constante para
qualquer solução, a solução ótima permanece a mesma.
subtraia o mí nimo de cada linha de todos elementos da linha
subtraia o mí nimo de cada coluna de todos elementos da coluna
repita:
cubra os zeros com o menor nú mero de tra ços
se L = n PARE
seja x a menor quantidade não coberta pelos tra ços
subtraia x das linhas não cobertas
some x ás colunas cobertas
Versão Preliminar
x ij
x ij