„Entwicklung von Mess-und Berechnungsverfahren zur ... - BMU

Seite 24 von 77 zum Zwischenbericht "Literaturstudie Mess- und Berechnungsverfahren Mobilfunk"
2.3.2.2 Feldtheoretische Modellierung
Die vom Berechnungsverfahren her genauesten Ergebnisse ließen sich erzielen, wenn die
empirischen, semi-empirischen oder strahlenoptischen Modelle durch feldtheoretische ersetzt
würden.
Die direkte numerische Lösung der Maxwellschen Gleichungen mit Hilfe von Integral- oder
Differentialgleichungssystemen wird bei Strukturen mit Abmessungen von wenigen Wellenlängen
erfolgreich eingesetzt (elektronische Bauteile, Antennen). Allerdings ist der Aufwand
hierfür erheblich. Eine Verwendung für die Berechnungen der Wellenausbreitung in Gebäuden
oder gar in Städten benötigt immens viel Rechenleistung und Speicherplatz. Die wichtigsten
Varianten werden im folgenden kurz beleuchtet:
2.3.2.2.1 Finite Elemente Methode (FEM)
Die Methode der finiten Elemente basiert auf der Lösung der Maxwellschen Gleichungen in
ihrer Differentialform. Die exakte Lösung wird durch die Überlagerung einfacherer analytischer
Ausdrücke angenähert. Um diesen Ansatz verwenden zu können, muss das Berechnungsgebiet
in ein dreidimensionales Gitter unterteilt werden. Die Berechnung der oben
erwähnten einfachen Ausdrücke erfolgt dann für alle Gitterpunkte. Durch die beliebige
Diskretisierung eignet sich die FEM besonders zur Berechnung komplizierter Geometrien.
2.3.2.2.2 Finite Differenzen Methode (FDM)
Die Finite Differenzen Methode basiert ebenfalls auf der Lösung der Maxwellschen Gleichungen
in ihrer Differentialform. Jedoch startet der Ansatz mit der Näherung der räumlichen
Ableitungen durch endliche Differenzen. Dies führt zu einem Gleichungssystem, in dem die
Unbekannten die elektromagnetischen Größen an den Punkten eines Gitters darstellen. Die
FDM erfordert die Diskretisierung des Berechnungsgebietes in ein regelmäßiges Gitter, was
einige Einschränkungen hinsichtlich der modellierbaren Geometrien mit sich bringt. Die
Struktur des entstehenden Gleichungssystems erlaubt die Anwendung optimierter Algorithmen
zur Lösung und Speicherung.
2.3.2.2.3 Finite Differenzen im Zeitbereich (Finite Difference Time Domain, FDTD)
Die Anwendung der Methode der finiten Differenzen im Zeitbereich ist weit verbreitet. Die
Maxwellschen Gleichungen werden hier direkt in Raum und Zeit diskretisiert. Jedem Volumenelement
werden elektrische Materialparameter zugeordnet. Durch Lösen der Differentialgleichungen
im Zeitbereich werden die elektrischen und magnetischen Feldstärken in jedem
Volumenelement zu jedem betrachteten Zeitpunkt mit hoher Genauigkeit bestimmt. Da auch
bei FDTD das gesamte Berechnungsgebiet in den drei Raumrichtungen diskretisiert werden
muss, wobei die Schrittweite höchstens ein Zehntel der untersuchten Wellenlänge betragen
darf, ergibt sich eine sehr große Anzahl von zu berechnenden Unbekannten. Allerdings steigt
der Berechnungsaufwand lediglich linear mit der Anzahl der Gitterzellen. Zur Vereinfachung
kann die Feldstärkeberechnung nur zweidimensional, also nur auf dem Gebäudegrundriss,