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191 ANNEXE II QUADRATURE ET ANISOTROPIE Un point important lorsque l’on considère une réaction de diffusion anisotrope est le jeu de contraintes qui doivent être imposées aux trajectoires du tracking de manière à assurer la conservation des particules quel que soit l’ordre de quadrature choisi. Lorsque la diffusion est isotrope, la seule contrainte est la renormalisation des longueurs des segments qui composent les trajectoires de manière à intégrer correctement les volumes; par contre, lorsque le diffusion est anisotrope, des contraintes sur la quadrature de l’angle solide doivent être introduites. Assez étrangement, cette question n’est pas vraiment traitée dans la littérature. Dans [Sanchez et al., 2002], des conditions nécessaires pour la quadrature de l’angle solide ont été dérivées dans le cas d’une quadrature produit en imposant le conservation des particules dans un milieu infini, homogène. Cependant, ces contraintes ne sont pas suffisantes en général comme observé à l’Annexe IV. On se propose ici de dériver des conditions nécessaires et suffisantes pour une quadrature produit de manière à assurer cette conservation pour une géométrie quelconque. En application de ces résultats, une discussion sur le choix de la quadrature polaire pour MOC dans le cas de géométries 2D cartésiennes est donnée. Dans [Leonard & McDaniel, 1995], Leonard et McDaniel ont introduit des quadratures polaires dites optimisées, en se basant sur l’équivalence entre CP et MOC lorsque la diffusion est isotrope. Ils ont proposé deux manières d’obtenir des quadratures qui optimisent l’intégration des fonctions de Bickley-Naylor. L’approche qu’ils ont favorisée ne tient pas compte de la conservation des particules étant donné que leurs calculs
192 sont limités à la diffusion isotrope. Par la suite, ces quadratures ont été utilisées dans des configurations avec diffusion anisotrope conduisant à de très mauvais résultats comme dans [Roy, 1999]. Dans [Sanchez et al., 2002], il a été montré que ces quadratures intègrent très mal les polynômes et ne sont pas conservatives lorsque la diffusion est anisotrope. Dans cette étude, nous revoyons les deux approches proposées dans [Leonard & McDaniel, 1995] du point de vue des critères de conservation établis et proposons une extension de leur procédure d’optimisation qui prend en compte ces contraintes. Les différentes quadratures sont testées sur deux benchmarks 2D construits à partir du 2ème benchmark de l’Annexe IX. Pour finir, on précise ce qu’il en est vis à vis de la conservation pour les quadratures disponibles dans DRAGON pour les calculs en 3D qui ne sont pas des quadratures produit. II.1 La conservation des particules On a vu au Chapitre 1 que le traitement de l’anisotropie de diffusion repose sur un développement en polynômes de Legendre de la section efficace de diffusion. De cette expansion, on en déduit, par le théorème d’addition des harmoniques sphériques, que le problème peut être traité en utilisant les projections du flux sur une base d’harmoniques sphériques qui vérifient la propriété d’orthogonalité de l’Eq. (1.10) c’est à dire ∫ 1 −1 ∫ 2π dµ dψ R m′ l (µ, ′ ψ)Rm l (µ, ψ) = 4π 0 2l + 1 δ l,l ′δ m,m ′. (II.1)
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iv À mes grand-parents, William et
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vi RÉSUMÉ Ce projet s’intéress
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viii ABSTRACT This project is dedic
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