université de montréal développement de la méthode des ...

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Ce raisonnement conduit à l’Algorithme VI.2.
Algorithme VI.2 Algorithme du Gradient Conjugué
CG()
1 choix de ⃗ Φ (o)
2 ⃗r (o) ← ⃗ b − A ⃗ Φ (o)
3 p o ← ⃗r (o)
4 for j ← 0 to N max do
5 while ‖⃗r (j) ‖ ≥ ε‖ ⃗ Φ (j) ‖ do j
6 α j ← 〈⃗r (j)|⃗r (j) 〉
〈p j |Ap j 〉
7 ⃗ Φ(j+1) ← ⃗ Φ (j) + α j p j
8 ⃗r (j+1) ← ⃗r (j) − α j Ap j
9 β j ← 〈⃗r (j+1)|⃗r (j+1) 〉
〈⃗r (j) |⃗r (j) 〉
10 p j+1 ← ⃗r (j+1) + β j p j
11 endwhile
12 endfor
VI.1.3
Les méthodes de résidu minimum
Cette fois, l’idée est de minimiser la norme euclidienne de ⃗r (m) qui peut s’écrire
comme
⃗r (m)
= ⃗r (o) − AV m y m
= ⃗r (o) − V m+1 ¯Hem y m
= ∥ ∥ ⃗r(o)
∥ ∥ v1 − V m+1 ¯Hem y m
= V m+1 ( ∥ ∥ ⃗r(o)
∥ ∥ e1 − ¯H em y m ). (VI.19)