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17 2.1.2 Intégration sur le tracking La méthode des caractéristiques est une méthode de transport intégrale qui s’attache au calcul des moments moyens du flux dans les N régions du domaine. L’intégration de ces quantités passe par le changement d’intégrale suivant ∫ ∫ F j = d 3 r V j 4π ∫ d 2 Ωf(⃗r, ˆΩ) = d 4 T Υ k=1 K∑ ∫ sk δ j,Nk s k−1 dsf(t, ⃗ T), (2.3) illustré à la Fig. 2.2. Le formalisme de tracking du paragraphe précédent prend alors tout son sens. d 2 Ω Ω T ds r d 3 r 4 d T= d 2 pd 2 Ω r d 2 Ω Ω 2 d p Π Ω p Fig. 2.2 Formalisme d’intégration de MOC Pour des questions de renormalisation au cours de l’intégration numérique, les volumes et surfaces approchés doivent être calculés numériquement par ce formalisme. Dans le cas d’une quantité qui ne dépend pas de la direction comme le volume, on
18 introduit numériquement une dépendance à l’angle ∫ ∫ V j = d 3 r MOC = Ṽj(ˆΩ) = d 2 p V j πˆΩ k=1 K∑ δ j,Nk L k ( T). ⃗ (2.4) Les volumes numériques sont utilisés pour renormaliser la longueur des segments de chaque ligne d’intégration T ⃗ = (ˆΩ, ⃗p) par V j L k (ˆΩ, ⃗p) ← L k (ˆΩ, ⃗p) Ṽ j (ˆΩ) . Les surfaces numériques quant à elles se calculent par ∫ πS α = d ∫∂D 2 r b d 2 Ω (ˆΩ · α ˆΩ· ⃗N out α >0 ∫ out ⃗N α ) MOC = π ˜S α = d 4 Tχ α (⃗r K+1 ). (2.5) Υ et sont utilisées lorsque l’on applique des conditions aux frontières de type albedo. ⃗N out α est la normale sortante à ∂D α au point ⃗r b . Cette évaluation numérique des surfaces et volumes est faite de manière à assurer la conservation des particules. Dans la méthode des caractéristiques, les différents moments moyens du flux pour chaque région j sont calculés par une intégration réalisée sur Υ selon V j Φ m l(j) = MOC = ∫ ∫ d 3 r d 2 Ω R m l (ˆΩ)φ(⃗r, ˆΩ) V j 4π ∫ K∑ d 4 T δ j,Nk L k ( T)R ⃗ m l (ˆΩ)¯φ k ( T), ⃗ (2.6) Υ k=1 où V j est le volume de la région j et le flux angulaire moyen sur le segment L k ( ⃗ T) est défini par L k ¯φk ( T) ⃗ = ∫ Lk 0 dsφ(⃗r k + sˆΩ, ˆΩ). (2.7) De la même manière, le courant sortant du domaine pour chaque frontière ∂D α
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