université de montréal développement de la méthode des ...

198
Ainsi, l’erreur d’évaluation par une quadrature des quantités q k j s’écrit
δqj k = 1 (
E3 (τ k−1
j ) − E 3 (τ k−1
j + τ k ) ) , (II.19)
τ k
où E n (τ) = Ki An (τ) − Ki n (τ).
L’approche introduite dans [Leonard & McDaniel, 1995] consiste à construire une
quadrature polaire de manière à minimiser cette erreur.
Avant de discuter de la question de la minimisation, il faut d’abord choisi la quantité
à minimiser. On peut bien sûr chercher à minimiser directement E 3 en remarquant
que
où ‖E 3 ‖ ∞
=
max (E 3 (τ)).
τ∈[0,τ max]
∣ δq
k
j
∣ ∣ ≤
2
τ k
‖E 3 ‖ ∞
,
(II.20)
En fait, comme mentionné dans [Leonard & McDaniel, 1995], il est préférable a
priori de minimiser E 2 car
∣ δq
k
j
∣ ∣ ≤ ‖E2 ‖ ∞
.
(II.21)
Pour de faibles parcours optiques τ k , cela se voit facilement en écrivant le développement
de Taylor à l’ordre 1 de Ki A3 en τ k−1
j
i.e.
Ki A3 (τ k−1
j
+ τ k ) = Ki A3 (τ k−1
j
dKi A3
) + τ k (τ k−1
j ). (II.22)
dτ
Comme dKi A3
dτ
= −Ki A2 , on a
q k j = − dKi A3
dτ
(τj
k−1 ) = Ki A2 (τj k−1 ). (II.23)
Les Figures II.1 et II.2 présentent δ ij =
∣ E 3 (τ j ) − E 3 (τ i ) ∣∣∣
∣
en fonction de τ j et
τ j − τ i