université de montréal développement de la méthode des ...

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Ce processus peut être résumé par (j ∈ [1, m])
Av j = h j+1 j v j+1 +
j∑
h ij v i ,
i=1
(VI.2)
où les coefficients h ij peuvent être réunis sous la forme d’une matrice de Hessenberg
supérieure
⎡
⎤
h 11 h 12 · · · h 1j
h
H ej =
21 h 22 · · · h 2j
.
⎢ .. . .. .
. ⎥
⎣
⎦
0 h j j−1 h j j
Cette matrice est la projection orthogonale de A sur K j (⃗r (o) , A) i.e. H ej = V T j AV j.
Notons que lorsque m augmente, le côut de la construction de la base augmente
rapidement. Dans ces conditions, il est intéressant de noter que si A est symétrique,
H ej l’est aussi et par conséquent, H ej est tridiagonale. Ainsi, chaque nouveau vecteur
ne doit être orthogonalisé qu’avec les deux précédents car il est automatiquement
perpendiculaire aux autres; on parle alors d’une récurrence à trois termes;
l’algorithme d’Arnoldi est grandement simplifié.
Avec ces notations, on peut réécrire l’Eq. (VI.2) sous la forme
AV j = V j H ej + h j+1 j v j+1 e T j ,
(VI.3)
où e j est le jème vecteur de la base canonique. Ce processus d’orthogonalisation
peut s’écrire
⎡
où ¯H ej = ⎣
H ej
0 · · ·0 h j+1 j
⎤
⎦.
AV j = V j+1 ¯Hej ,
(VI.4)