université de montréal développement de la méthode des ...

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À la sortie de cet algorithme en place, la matrice A contient les élements de L et
U sous la forme L/U − I suivante :
• {a ij |(i, j) ∈ [1, N] × [1, N], i > j } correspond à l’ensemble des éléments non-diagonaux
de L. Remarque : les éléments diagonaux de L sont égaux à 1 par normalisation
et ne sont donc pas stockés.
• {a ij |(i, j) ∈ [1, N] × [1, N], j > i} correspond à l’ensemble des éléments non-diagonaux
de U.
• {a ii |i ∈ [1, N]} correspond à l’ensemble des inverses des éléments diagonaux de
U.
Les différentes décompositions viennent alors du choix de P. Si P = N z (A), c’est
à dire que le graphe de la décomposition ILU de A est le même que celui de A et
que l’on ne permet aucun remplissage, on a affaire à une décomposition ILU0.
Pour la résolution de ACA, au vu des résultats publiés par [Santandrea & Sanchez,
2005], nous avons décidé d’opter pour cette décomposition qui offre un stockage
qui peut être réduit de manière très satisfaisante pour ACA. En effet, si l’on observe
l’algorithme, on remarque qu’un élément (i, j) non-diagonal de A n’est modifié que
si Ri R ∩ Rj
R n’est pas limité à {(i, j), (j, i)} i.e. les nœuds i et j ont des voisins en
commun. Dans le cas de la méthode DP N , Santandrea a montré que les éléments
non-diagonaux de U ne diffèrent jamais de A et par conséquent, seuls les éléments
diagonaux de U doivent être stockés (les éléments de L sont simplement construits
à partir de ceux de A par normalisation à cette diagonale). Dans le cas de ACA
où les nœuds correspondent directement aux régions et surfaces externes de la
géométrie, les éléments non-diagonaux de U qui diffèrent de A peuvent exister
mais sont en nombre limité (noté N 0 ). Ainsi, en pratique, on ne stocke à l’issue
d’une décomposition ILU0 que la diagonal de U et les éléments non-diagonaux qui
diffèrent de A (en introduisant deux index construits préalablement). Ainsi, si l’on
considère G groupes pour lesquels ont doit faire cette décomposition, le stockage