université de montréal développement de la méthode des ...

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présente dans ce cadre la méthode la plus simple Bi-CGSTAB(1) ou Bi-CGSTAB
qui est avec GMRES la méthode qui s’est le plus répandue au sein de la communauté
scientifique. C’est cette méthode qui a été choisie pour la résolution du
système ACA. Il s’agit ici de reprendre le raisonnement suivi pour l’agorithme CGS
mais cette fois, au lieu de prendre le carré des polynômes ̟j et π j , on introduit un
autre polynôme ϑ j . On dérive ensuite l’algorithme dont les résidus s’écrivent
⃗r (j) = ϑ j (A)̟j(A)⃗r (o) .
(VI.34)
j−1
∏
Dans le cas de Bi-CGSTAB, ϑ est écrit sous la forme ϑ j (t) = (1 − w i t). La
dérivation de l’algorithme procède de la même manière que pour CGS. Reste ensuite
le choix des coefficients w j et c’est là que le lien avec GMRES(1) apparaît car l’idée
est de choisir w j de manière à minimiser le résidu ⃗r (j+1) en norme 2 c’est à dire
i=1
⃗r (j+1) = (I − w j A)ϑ j (A)̟j+1 (A)⃗r (o) = (I − w j A)s j .
La méthode ainsi obtenue est présentée à l’Algorithme VI.6