université de montréal développement de la méthode des ...

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un tel schéma requiert le stockage de tous les flux aux interfaces des segments φ k ( ⃗ T)
de manière à évaluer les sources q k (⃗r k , ˆΩ) et q k (⃗r k+1 , ˆΩ) et à calculer qk 1 . Comme on
l’a déjà mentionné, une telle approche directe est inapplicable.
Comme montré dans [Suslov, 1997], si l’on considère une pente de la source proportionnelle
à la pente du flux en écrivant
q 1 k = Σ tN k
L k
(φ k+1 − φ k ),
(III.13)
le schéma LC se réduit au schéma DD. Cette propriété est en fait reliée au principe
général des dérivées quasi-stationnaires appliqué à la dérivée seconde du flux. Cette
approximation linéaire intrinsèque de la source explique pourquoi ce schéma est,
de manière générale, plus précis que le schéma SC (qui correspond à qk 1 = 0). Cette
remarque est le point de départ du fix-up proposé par Suslov pour le schéma DD.
Dans cette annexe, on introduit un nouveau schéma linéaire construit sur une
représentation très simple de la pente de la source à l’intérieur d’une région.
Ce schéma SLC est basé sur la continuité de la source à l’intérieur d’une région
matérielle qui peut contenir plusieurs régions de calcul. Il utilise uniquement les
sources moyennes par région Q j (ˆΩ) et ne requiert donc aucun stockage supplémentaire
par rapport aux schémas SC ou DD.
On note ∆ k = L k−1 + L k
la distance entre les points milieux des segments k − 1
2
et k de T. ⃗ Le fait que les segments k − 1 et k appartiennent à une même région
matérielle est noté (k − 1) ‖ (k).
Dans ces conditions, si (k − 1) ‖ (k), une expansion en série de Taylor du second
ordre permet d’écrire
( ) ( )
Lk−1 Lk dq
q k−1 = q k − ∆ k
2 2 ds + ∆2 k d 2 q
2 ds 2.
(III.14)