université de montréal développement de la méthode des ...

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ANNEXE VI
LES MÉTHODES DE KRYLOV
Cette annexe présente de manière succincte un panorama des différentes méthodes
que recouvre le dénominatif méthode de Krylov afin d’éclairer le choix qui a été
fait à la fois pour l’accélération de la boucle interne de MOC (c.f. § 3.2) mais aussi
pour la résolution du système ACA (c.f. § 4.3). La structure de cette présentation
emprunte celle de [Van Der Vorst & Sleijpen, 1998] et le contenu est basé sur les
livres [Saad, 1996] et [Meurant, 1999].
Dans cette annexe, on se place dans des espaces vectoriels de type R n munis du
n∑
produit scalaire standard 〈⃗u = (u i ) i∈[1,n] |⃗v = (v i ) i∈[1,n] 〉 = u i v i et de la norme
euclidienne induite.
i=1
VI.1
Les méthodes de Ritz-Galerkin et de résidu minimum
VI.1.1 Une base orthonormale de K m (⃗r (o) , A)
Le point de départ de ces méthodes est la construction d’une base orthonormale de
l’espace K m (⃗r (o) , A). D’abord, on suppose que K m (⃗r (o) , A) est de dimension m. En
effet, si l’on suppose que K m (⃗r (o) , A) n’est pas une famille libre, en supposant par
ailleurs que K m−1 (⃗r (o) , A) est une famille libre, on a K m (⃗r (o) , A) = K m−1 (⃗r (o) , A) et
par conséquent ⃗r (m−1) ∈ K m−1 (⃗r (o) , A). Comme ⃗r (m−1) ⊥ L m−1 , on a
1. dans la cas des méthodes de Ritz-Galerkin que L m−1 = K m−1 (⃗r (o) , A),
2. dans la cas des méthodes de résidu minimum que L m−1 = AK m−1 (⃗r (o) , A) =