université de montréal développement de la méthode des ...

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les colonnes de la matrice P ∗ m = W m L −T
m . L’Algorithme VI.4 présente la formulation
ainsi obtenue.
Algorithme VI.4 Algorithme Bi-CG
Bi-CG()
1 choix de ⃗ Φ (o) , ⃗r ∗ (o)
2 ⃗r (o) ← ⃗ b − A ⃗ Φ (o)
3 p o ← ⃗r (o)
4 for j ← 0 to N max do
5 while ‖⃗r (j) ‖ ≥ ε‖ ⃗ Φ (j) ‖ do j
6 α j ← 〈 ⃗r ∗ (j)|⃗r (j) 〉
〈p ∗ j |Ap j〉
7 ⃗ Φ(j+1) ← ⃗ Φ (j) + α j p j
8 ⃗r (j+1) ← ⃗r (j) − α j Ap j
9 ⃗r ∗ (j+1) ← ⃗r ∗ (j) − α j A T p ∗ j
10 β j ← 〈⃗r (j+1)|⃗r ∗ (j+1)〉
〈⃗r (j) |⃗r ∗ (j)〉
11 p j+1 ← ⃗r (j+1) + β j p j
12 p ∗ j+1 ← ⃗r ∗ (j+1) + β j p ∗ j
13 endwhile
14 endfor
D’autre part, le cheminement qui a mené de CG à GMRES peut-être répété ici.
Si au lieu d’orthogonaliser le résidu par rapport à W m , on s’intéresse à la norme
euclidienne du résidu, on obtient comme précédemment à l’Eq. (VI.19)
∥
∥⃗r (m)
∥ ∥ = ∥ ∥V m+1 ( ∥ ∥⃗r (o)
∥ ∥ e 1 − ¯H em y m ) ∥ ∥ .
(VI.28)
Mais cette fois, V m+1 n’est pas orthonormale. La méthode de Résidu Quasi-Minimum
(QMR) consiste alors à ignorer ce fait et à minimiser ∥ ∥ ∥ ∥ ⃗r(o)
∥ ∥ e1 − ¯H em y m
∥ ∥.