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233 l’intérêt par rapport à un stockage proportionnel à l’ordre de la quadrature angulaire. Pourtant, à mesure que l’ordre d’anisotropie augmente, le nombre de modes interconnectés augmente rapidement et cette décomposition n’est pas adaptée pour L > 3. (l ′ , m ′ ) (0,0) (1,-1) (1,1) (2,-2) (2,0) (2,2) (0,0) 1 5 7 10 (1,-1) 2 3 (l, m) (1,1) 3 4 (2,-2) 5 6 8 11 (2,0) 7 8 9 12 (2,2) 10 11 12 13 Tab. IV.2 Diagramme des modes interconnectés (L ≤ 2) pour une géométrie 2D Le Tableau IV.2 donne l’exemple des modes interconnectés dans le cas d’une géométrie 2D pour L ≤ 2. Les nombres encerclés donne l’ordre de numérotation des modes. IV.2 Seconde approche Par ailleurs, une autre stratégie a été implémentée et testée. En effet, dans certaines implantations de la méthode des caractéristiques, le processus d’intégration
234 est simplifié par l’absence de traitement asymptotique pour des parcours optiques proches de zéro. Ainsi, si l’on considère que la section efficace totale ne s’annule pas et que la précision numérique est suffisante, le processus d’intégration peut être simplifié [Roy, 1999]. Les Eqs. (2.20) et (2.19) peuvent être réécrites sous la forme ∆ k ( ⃗ T) = ÃSC k ( φ k+1 ( ⃗ T) = φ k ( ⃗ T) − ∆ k ( ⃗ T). ) φ k ( T) ⃗ − Q N k (ˆΩ) , (IV.5) Σ tNk (IV.6) avec ÃSC k = 1 − e −τ k . Les moment du flux sont alors calculés à partir de ∆ k ( ⃗ T) par Q m V j Φ m l(j) l(j) = V j + 1 d Σ j Σ j ∫Υ 4 T K∑ δ j,Nk R m l (ˆΩ)∆ k ( T), ⃗ k=1 (IV.7) en supposant que par renormalisation par angle, Ṽj(ˆΩ) = V j et en utilisant l’orthogonalité des harmoniques sphériques de l’Eq. (1.10). Une remarque importante doit être faite ici vis à vis de l’intégration numérique des harmoniques sphériques. En effet, à l’Eq. (IV.7), on a considéré que la quadrature numérique introduite par la procédure de tracking pour le traitement de l’angle solide vérifie l’Eq. (1.10). Dans le contexte de la diffusion anisotrope, si l’on utilise une quadrature qui n’intègre pas correctement les harmoniques sphériques, cette stratégie d’intégration est directement biaisée et ses résultats peuvent dévier de manière significative de ceux obtenus avec la stratégie de décomposition présentée plus haut à l’Eq. (IV.1). Dans le cas d’une quadrature produit, des contraintes générales sont dérivées à l’Annexe II. Par exemple, dans une configuration 2D avec un développement à l’ordre 1 de la section efficace de diffusion (c.f. 2ème benchmark de l’Annexe IX), une quadrature polaire qui n’intègre pas correctement la partie
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UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL DÉVELOPPE
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iv À mes grand-parents, William et
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vi RÉSUMÉ Ce projet s’intéress
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viii ABSTRACT This project is dedic
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x TABLE DES MATIÈRES DÉDICACE . .
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xvi Fig. 7.2 Les différentes discr
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xx LISTE DES ANNEXES ANNEXE I CALCU
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22 positif ssi. les sources q k (
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160 CONCLUSION Dans ce projet, on s
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166 [Bouras & Fraysse, 2000] Bouras
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