université de montréal développement de la méthode des ...

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Par ailleurs, à partir de Bi-Lanzcos, il est possible de dériver des méthodes qui ne
requiert pas A T . La méthode du ≪Conjugate Gradient Squared≫ (CGS) est celle qui
a reçu le plus d’attention. Cette méthode est dérivée de Bi-Lanzcos en remarquant
que l’on peut écrire les résidus sous la forme
⃗r (j) = ̟j(A)⃗r (o) .
(VI.29)
où ̟j est un polynôme d’ordre j qui vérifie ̟o = 1. De même, en introduisant un
autre polynôme π j d’ordre j, les vecteurs p j peuvent s’écrire comme
p j = π j (A)⃗r (o) .
(VI.30)
Dans ces conditions, on voit que
⃗r ∗ (j) = ̟j(A T )⃗r ∗ (o), (VI.31)
p ∗ j = π j (A T )⃗r ∗ (o). (VI.32)
Ainsi, le coefficient α j peut être écrit
α j = 〈̟j(A T )⃗r ∗ (o)|̟j(A)⃗r (o) 〉
〈π j (A T )⃗r ∗ (o)|Aπ j (A)⃗r (o) 〉 = 〈 ⃗r ∗ (o)|̟2j (A)⃗r (o)〉
〈⃗r ∗ (o)|Aπ 2 j (A)⃗r (o)〉 .
(VI.33)
Il est donc possible de trouver un algorithme basé sur une récurrence pour les
vecteurs ⃗r (j) = ̟2j (A)⃗r (o) et p j = πj 2(A)⃗r (o). Une telle méthode est présenté à
l’Algorithme VI.5. Outre le fait que cette méthode ne requiert pas l’utilisation de
la matrice transposée, par sa formulation de résidu ≪au carré≫, elle donne souvent
une meilleure vitesse de convergence. Par contre, dans le même temps, cette
méthode est plus sensible aux erreurs d’arrondis numériques et présente parfois un
comportement erratique.