université de montréal développement de la méthode des ...

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K m (⃗r (o) , A) = K m−1 (⃗r (o) , A),
il est clair que ⃗r (m−1) = ⃗0.
Si l’on introduit V m = [v 1 v 2 . . . v m ] la matrice dont les colonnes sont les vecteurs
orthonormaux d’une base de K m (⃗r (o) , A), la projection sur l’espace de Krylov s’écrit
⃗Φ (m) = ⃗ Φ (o) + V m y m où y m ∈ R m .
(VI.1)
La construction de V m est basé sur l’algorithme d’Arnoldi (et ses variantes). Cet
algorithme est basé sur le procédé d’orthonormalisation de Graam-Schmidt et est
présenté à l’Algorithme VI.1
Algorithme VI.1 Algorithme d’Arnoldi
Arnoldi()
1 v 1 ← ⃗r (o)
∥
∥ ⃗r(o) 2 for j ← 1 to m do
3 ˆv j+1 ← Av j
4 for i ← 1 to j do
5 h ij ← 〈ˆv j+1 |v i 〉
6 ˆv j+1 ← ˆv j+1 − h ij v i
7 endfor
8 h j+1 j ← ‖ˆv j+1 ‖
9 v j+1 ← ˆv j+1
h j+1 j
10 endfor