université de montréal développement de la méthode des ...

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Cette relation découlent directement des relations d’orthogonalités suivantes
I ψ m,m ′ =
∫ 2π
0
dψT m (ψ)T m ′(ψ) = π(1 + δ m,0 )δ m,m ′,
(II.2)
et
∫ 1
I µ,m
l,l
= dµP ′ l m (µ)Pl m (µ) = 2(l + m)!
′
−1
(2l + 1)(l − m)! δ l,l ′. (II.3)
Le problème qui peut se poser alors est d’avoir une quadrature numérique de l’angle
solide qui respecte ces propriétés pour le degré d’anisotropie du problème considéré,
c’est à dire pour 0 ≤ m ≤ l ≤ L. Ceci est nécessaire pour garantir que la conservation
des neutrons soit numériquement respectée. En effet, si l’on considère un
schéma d’intégration qui respecte l’Eq. (2.17), l’Eq. (2.16) de conservation peut
être réécrite sous la forme, ∀l ∈ [0, L], ∀m ∈ [−l, l],
L∑
l ′ =0
(2l ′ + 1)
4π
∑l ′
Q m′
l ′ (j)
m ′ =−l ′
∫
d 2 Ω R m′
l (ˆΩ)R m ′ l (ˆΩ)
( ∫
πˆΩ
d 2 p
)
K∑
δ j,Nk L k ( T) ⃗ = V j Q m l(j) .
k=1
(II.4)
πˆΩ
k=1
Si l’on considère maintenant que, par renormalisation par angle des lignes d’intégration,
Ṽj(ˆΩ) = d 2 p δ j,Nk L k ( T) ⃗ ren.
= V j , on retrouve simplement la condition
∫ K∑
d’orthogonalité
des harmoniques sphériques qui précède.
Il faut insister sur le fait que ce lien direct entre l’orthogonalité des harmoniques
sphériques et la conservation des neutrons n’est vrai que pour un schéma d’intégration
qui respecte l’Eq. (2.17). C’est le cas des schémas SC, DD, SLC utilisés dans
ce projet (c.f. Annexe III). Par ailleurs, la renormalisation par angle est nécessaire
pour obtenir cette relation.
Dans cette annexe, on s’intéresse à dériver des conditions nécessaires et suffisantes
pour qu’une quadrature de l’angle solide vérifie ces propriétés. On se place dans