université de montréal développement de la méthode des ...

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Dans notre cas, on a affaire à des matrices pour lesquelles cette relation binaire est
symétrique i.e. (i, j) ∈ N z (A) ⇒ (j, i) ∈ N z (A). Dans le cadre deACA, cette relation
binaire peut être explicitée sous la forme i Rj ssi. ∃ T ⃗ ∈ Υ, ∃ k ∈ [1, K( T)] ⃗ tels
que N k ( T) ⃗ = i et N k+1 ( T) ⃗ = j, c’est à dire que la ligne T ⃗ traverse consécutivement
les régions i et j. Ainsi, a priori, la connectivité des matrices ACA est entièrement
déterminée par le tracking et ne dépend pas des sections efficaces macroscopiques
utilisées. Les index I A et J A peuvent donc être calculés une bonne fois pour tout
au sortir du module de tracking (sans recours explicite à la géométrie). En pratique,
suivant les valeurs des sections efficaces, certains coefficients des matrices
ACA peuvent s’annuler; ce cas est marginal et ces éléments nuls sont stockés pour
garder des vecteurs I A et J A indépendants des sections efficaces (et donc du groupe
d’énergie).
VIII.2 Renumérotation et préconditionnement
Pour la résolution du système ACA stocké au format MSR, on utilise une méthode
de Krylov telle que présentée à l’Annexe VI. En pratique, on a observé la nécessité
d’utiliser un préconditionnement pour ces itérations sur un système de plusieurs
millions d’inconnues. Pour limiter le coût de stockage tout en garantissant une
convergence satisfaisante, un préconditionnement P = (LU) −1 induit par décomposition
LU incomplète (ILU) a été utilisé. Il s’agit de construire une matrice triangulaire
inférieure L et une matrice triangulaire supérieure U en imposant des
contraintes sur la matrice résiduelle R = LU − A. La plupart de ces factorisations
sont basées sur la définition d’un ensemble P ⊂ {(i, j) ∈ [1, N] × [1, N] |i ≠ j }
qui conditionne les éléments à conserver lors de la construction de L et U par
décomposition LU de A. L’algorithme de décomposition tel que le plus souvent
employé est décrit à l’Algorithme VIII.1 et est illustré à la Fig. VIII.1.