université de montréal développement de la méthode des ...

Gauss-Legendre (G-L) ( )
µ G i , wi
G i∈[1,N p]
sur ] − 1, 1[ i.e.
(
µ i = 1 2 (µG i − 1), w µ i = 1 )
2 wG i
,
i∈[1,N p]
permet d’intégrer correctement I µ k pour k ∈ [0, N p −1]. Ainsi, une telle quadrature
est conservative si N p ≥ L + 1.
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II.2 Une application : quadrature polaire optimisée pour MOC en 2D
Pour des calculs 2D, il y a un fort intérêt à trouver des quadratures polaires
≪optimales≫ qui permettent de limiter le nombre d’angles nécessaires pour avoir
des résultats convergés. Des quadratures de ce type sont basées sur le lien qui existe
entre CP et MOC (basée sur le schéma SC) dans le cadre de la diffusion isotrope et
ont été introduites dans [Leonard & McDaniel, 1995]. On peut montrer qu’avec la
méthode des caractéristiques, l’intégration du flux scalaire sur le tracking revient,
lorsque la diffusion est isotrope, à la sommation de quantités proportionnelles à
qj k = 1 (
KiA3 (τj
k−1 ) − Ki A3 (τj k−1 + τ k ) ) , (II.16)
τ k
où
avec η i = √ 1 − µ 2 i .
N
∑ p
Ki An (τ) =
i=1
w µ i ηn−2 i e −τ
η i ,
(II.17)
On voit que Ki An n’est rien d’autre qu’une évaluation par quadrature de la fonction
de Bickley-Naylor [Lewis & Miller, 1993]
Ki n (τ) =
∫ 1
0
η n−1
dη√ e −τ
1 − η
2
∫ 1
η
=
0
dµ ( n−2
1 − µ
2)
√
2
e −τ
1−µ 2 . (II.18)