université de montréal développement de la méthode des ...

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À partir de là, on peut écrire, en notant, A = PH, I = I NL +M et ⃗ b = PL ⃗ S
⃗r (n) = (I − A)⃗r (n−1) , (3.16)
⃗Φ (n+1) = Φ ⃗ n∑
(o) + ⃗r (m) . (3.17)
Par conséquent, on a un certain polynôme d’ordre n, P n (A) (en l’occurrence, (I −
A) n ) tel que le schéma itératif se réduit à
m=1
⃗r (n) = P n (A)⃗r (o) , (3.18)
⃗Φ (n+1) n∑
= Φ ⃗ (o) + P m (A)⃗r (o) . (3.19)
Si l’on introduit les espaces de Krylov générés par un vecteur et une matrice
m=1
K n+1 (⃗v, A) = span(⃗v, A⃗v, . . .,A n ⃗v),
on voit bien que de manière générale,
⎧
⎨
⎩
⃗r (n) ∈ K n+1 (⃗r (o) , A),
⃗Φ (n+1)
= ⃗ Φ (o) + un élément de K n+1 (⃗r (o) , A).
La question qui se pose alors est de savoir si l’on peut trouver un ≪meilleur≫
estimé Φ ⃗ (n) par le choix de l’élément de K n (ou, formulé de manière équivalente, des
polynômes P m (A)) qu’avec les itérations de Richardson. En ce sens, les méthodes
de Krylov proposent une solution avantageuse.
3.2.2 Description générale
Ces méthodes reposent sur le processus suivant :