université de montréal développement de la méthode des ...

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dans cette formulation, les coefficients Π i doivent être stockés pour chaque angle
de la quadrature.
Pour un ordre d’anisotropie limité, notre approche par modes angulaires est moins
coûteuse en termes de stockage. En effet, on n’a pas à stocker les probabilités pour
tous les modes (l, m) ← (l ′ , m ′ ); on peut utiliser les propriétés suivantes :
• p l′ ←l,m ′ ←m
jj = p l←l′ ,m←m ′
jj ;
• p l′ ←l,m ′ ←m
jj
≠ 0 ssi. (l + l ′ ) est pair.
En effet, la sommation est faite dans les directions +ˆΩ et −ˆΩ et les harmoniques
sphériques vérifient R m l (−ˆΩ) = (−1) l R m l (ˆΩ) [Roy, 1991].
Ainsi, la connection entre les modes dépend directement de la parité de l i.e. un
mode n’est connecté qu’avec des modes qui ont la même parité en l. On notera N p
(resp. N i ) le nombre de modes pairs (resp. impairs) pour un ordre d’anisotropie L
donné. Par symétrie, le nombre N pjj de probabilités à calculer par région est donc
N pjj = N p(N p + 1)
2
+ N i(N i + 1)
. (IV.4)
2
En décomposant L sous la forme L = 2L 2 + δ au sens de la division euclidienne,
on obtient pour N p et N i les expressions données au Tableau IV.1.
2D
3D
N p (L 2 + 1) 2 (L+1−δ)(L 2 +1)
N i (L 2 + 1)(L 2 + 2δ) (L+1+δ)(L 2 + δ)
total (L + 1)(L + 2)/2 (L + 1) 2
Tab. IV.1 Nombre de modes par parité de l en géométries 2D et 3D
Pour la diffusion isotrope, on a uniquement une probabilité par région à calculer.
Pour L = 1, on a à stocker 7 probabilités en 3D et 4 en 2D. On comprend bien