université de montréal développement de la méthode des ...

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des différentes régions,
• L, matrice ⎡ de taille (N L + M) × (N L + M),
• ∑ s = ⎣ diag( )
⎤
Σ l si ONL ×M
⎦.
O M×NL I M
Dans le cas d’un tracking cyclique ou de conditions de vide aux frontières, les termes
de courant peuvent être éliminés du système précédent qui se réduit à un système
à N L inconnues.
Le système à résoudre s’écrit donc
H ⃗ Φ = L ⃗ S, (2.29)
où H = I NL +M − L ∑ s .
Si l’on introduit un indice d’itération n, les itérations de type Richardson communément
employées pour résoudre ce système s’écrivent [Lewis & Miller, 1993]
(
⃗Φ (n+1) = L ⃗S +
∑s
Φ ⃗ )
(n) , (2.30)
ou encore
⃗Φ (n+1) = L ⃗ S + (I NL +M − H) ⃗ Φ (n) . (2.31)
où ⃗ Φ (n+1) est le résultat d’une itération avec ⃗ Φ (n) en entrée. Cet algorithme a pour
entrées ⃗ S et ⃗ Φ (n) et donne en sortie ⃗ Φ (n+1) . C’est sous cette forme d’itérations libres
que la méthode des caractéristiques est formulée traditionnellement.
On peut exprimer ce système linéaire sous une forme pratique en faisant apparaître
le résidu à la n ième itération par
L ⃗ S − H ⃗ Φ (n) = ⃗ Φ (n+1) − ⃗ Φ (n) . (2.32)