université de montréal développement de la méthode des ...

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jectoire, on doit alors s’intéresser au cas où τ j et τ k sont proches de 0. On doit
considérer alors les développements de Taylor multivariables suivant
a j
= 1 (
τ k − 1 d k 2 6 (1 − c j)τ k τj 2 − 1 )
12 τ3 k + O(τ5 ) ,
b j
= L (
j
τ k τ j − 7 d k 12 60 τ kτj 3 − 1 )
12 τ3 k τ j + O(τ 5 ) .
D’un point de vue efficacité algorithmique, il est intéressant de limiter ces expansions
à un ordre tel que le développement de Taylor de a j
d k
(resp. b j
d k
) soit égal au
produit des développements de Taylor de a j (resp. b j ) et 1 d k
à l’ordre considéré.
Ceci est valide jusqu’en O(τ 2 ) et en pratique, on travaille avec les développements
suivants
1
d =
b = L 2
τ
2 + ( τα ) 1
d − α
= 1 2
= L 6
(
τ + O(τ 2 ) ) ,
(
τ + O(τ 2 ) ) ,
a = 1 − (1 − c)Σb = 1 − 1 6 (1 − c) ( τ 2 + O(τ 2 ) ) ,
qui sont compatibles avec la multiplication.
V.3 Coefficients du schéma LC
(c.f. § III.1.2)
(
B LC 1
= L
1 − A − 1 SC τ − 1 )
2
C LC = 1 ( ) LB
SC
− C SC
Σ t 2
= L (
τ − 1
12
= − L3
12
)
60 τ3 + O(τ 5 )
(
1 − 1 2 τ + 3 20 τ2 − 1 30 τ3 + 1
168 τ4
+O(τ 5 ) )