université de montréal développement de la méthode des ...

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qui vérifie
N
∑ p
i=1
w µ i ηk+n−2 i = I k pour k ∈ [1, 2N − 1], (II.24)
et
N
∑ p
i=1
w µ i = 1, (II.25)
où I k =
∫ 1
0
η n−1
dη η k √ .
1 − η
2
De plus, comme I k =
∫ 1
0
dµ ( n−2+k
1 − µ
2) 2
est préservée pour k ∈ [1, 2N − 1],
pour n = 1 ou n = 2, une telle quadrature préserve l’intégrale des polynômes τ 2k
et donc P 2k où k ∈ [0, N p − 1]. Ainsi, cette quadrature est conservative pour
N p ≥ L + 1;
pour n = 3, une telle quadrature préserve l’intégrale des polynômes P 2k où k ∈
[0, N p ]. Ainsi, cette quadrature est conservative pour N p ≥ L;
pour n ≥ 4, une telle quadrature n’est pas conservative car a priori, elle ne conserve
pas l’intégrale du polynôme P 2 .
Dans [Lee & Cho, 2006], cette quadrature, optimisée pour n = 2, a été utilisée et
a donné de meilleurs résultats que la seconde approche proposée dans [Leonard &
McDaniel, 1995] dans les cas hétérogènes (présence de mécanismes de contrôle).
II.2.2 Seconde approche : quadrature optimisée par minimisation (OP L )
Soit n fixé, il s’agit de minimiser directement E n ce que l’on peut exprimer formellement
comme la minimisation de la fonctionnelle [Sanchez et al., 2002]
F ( ∫
(w µ i , η ) τmax
i) i∈[1,Np] = dτ (E n (τ)) 2 .
0
(II.26)