université de montréal développement de la méthode des ...

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1. Projection sur l’espace de Krylov K m (⃗r (o) , A)
⃗Φ (m) = ⃗ Φ (o) + ⃗ Φ Km(⃗r (o) ,A) ;
2. Orthogonalisation du résidu final ⃗r (m) par rapport à un autre espace L m
⃗r (m) = ( ⃗ b − AΦ ⃗ (m) ) ⊥ L m .
Les différentes méthodes se distinguent alors par le choix de l’espace L m et du
processus d’orthogonalisation. À la base, on peut distinguer trois approches [Van
Der Vorst & Sleijpen, 1998] en termes de l’espace L m :
1. l’approche dite de Ritz-Galerkin avec L m = K m (⃗r (o) , A),
2. l’approche dite de résidu minimum avec L m = AK m (⃗r (o) , A) ce qui est équivalent
à minimiser ∥ ∥ ⃗r(m) ∥2 sur K m (⃗r (o) , A),
3. l’approche dite de Petrov-Galerkin avec L m un autre espace de dimension m,
qui ont recours à deux types de procédure d’orthogonalisation :
1. le processus d’orthogonalisation de Arnoldi :
Il s’agit d’une version modifiée du processus de Graam Schmidt pour la
construction d’une base orthogonale de K m (⃗r (o) , A).
2. le processus de bi-orthogonalisation de Lanzcos :
Il s’agit d’un processus de construction de bases bi-orthogonales pour les
espaces K m (⃗r (o) , A) et L m .
Ces catégories et méthodes sont approfondies à l’Annexe VI auquel le lecteur est
renvoyé.
Autour de chaque méthode, de nombreuses variations ont souvent été développées
et le catalogue de ces méthodes ne cesse de s’allonger. Pourtant, comme Meurant
le mentionne explicitement dans son livre, des analyses ont montré qu’il n’était pas
envisageable de trouver une méthode optimale dans tous les contextes.