université de montréal développement de la méthode des ...

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VI.1.2
Les méthodes de Ritz-Galerkin
Pour ces méthodes, l’orthogonalisation du résidu se fait par rapport à K m (⃗r (o) , A),
c’est à dire que l’on a
V T m ⃗r (m) = ⃗0,
(VI.5)
soit
V T m
(
⃗r(o) − AV m y m
)
= ⃗0, (VI.6)
comme
⃗r (m) = ⃗r (o) − AV m y m .
(VI.7)
Ainsi, grâce à l’Eq. (VI.2), comme ⃗r (o) = ∥ ∥ ⃗r(o) v1 , on arrive au système suivant à
résoudre
H em y m = ⃗r (o) .
(VI.8)
Par ailleurs, en utilisant l’Eq. (VI.3), on obtient
⃗r (m) = −h m+1 m v m+1 e T my m .
(VI.9)
En notant y m m, la mème composante de y m , on obtient pour la norme euclidienne du
résidu
∥ ⃗r(m)
∥ ∥ = hm+1 m |y m m | .
(VI.10)
Dans le cas général, la résolution de ce système conduit à la méthode dite ≪Full
Orthogonalization Method≫ (FOM). Si A est symétrique, cette méthode devient
la méthode de Lanzcos et grâce à la structure tridiagonale de H em , on peut éviter
de stocker V m . Si de plus, A est définie positive, H em est directement construite
sous forme d’une décomposition LU (H em = L m M m ) ce qui donne des relations de
récurrence simples pour V m y m et ⃗r (m) . Cette méthode est alors appelée Gradient