u perspek - Filozofski fakultet u Splitu

dajemo uobičajeni prijevod modalne logike na jezik logike prvog
reda (postupak za slučaj većeg broja relacija dostupnosti je
izložen u 3.2.5).
Tehnika kojom se odre ¯duju svojstva relacije dostupnosti
počiva na načelu «minimalnog ispunjenja antecedensa». Najprije
dajemo prijevod rečenice modalne logike na jezik logike prvog
reda. Konzekvens aksioma ’¤P → P ’ dobiva prijevod:
P (x). Minimalno ispunjenje antecedensa zahtijeva da P bude
zadovoljeno u svim R sljedbenicima, zato definiramo minimalno
vrednovanje P (v) kao R(x, v). Pročitajmo konzekvens; on
kaže: P (x). Uvrstimo minimalno vrednovanje i dobivamo
R(x, x) — refleksivnost. Konzekvens aksioma ’ ¤P →
¤¤P ’ dobiva prijevod: ∀y (R(x, y) →∀z (R(y, z) → P (z))).
Upisujemo minimalno vrednovanje antecedensa R(x, v) i dobivamo
∀y (R(x, y) →∀z (R(y, z) → R(x, z))) — tranzitivnost.
Za aksiom ’P → ¤ ¦ P ’ minimalno ispunjenje antecedensa
zahtijeva da jedino u x bude zadovoljeno P , pa zato umjesto
P (v) pišemo x = v. Prijevod konzekvensa daje:
∀y (R(x, y) →∃z(R(y, z) ∧ P (z))), a s ubacivanjem minimalnog
uvjeta dobivamo ∀y (R(x, y) →∃z(R(y,z) ∧ x = z))) ,
što je zapravo komplicirani način iskazivanja uvjeta simetričnosti:
∀y (R(x, y) → R(y, x)). Relaciju koja je refleksivna, tranzitivna
isimetrična nazivamo relacijom ekvivalencije. Gore spomenuti
aksiomi pokazuju da modalna logika S5 karakterizira okvire u
kojima je relacija dostupnosti relacija ekvivalencije. Smijemo
iz S5 modela odstraniti kopije svjetova jer možemo zanemariti
relaciju dostupnosti i definirati ¤ modalitet Vw (¤ϕ) => akko
∀v : v ² ϕ. Neka je A skup svih propozicijskih slova u
dijelu jezika koji razmatramo. Tada se svaki element partitivnog
skupa ℘A može promatrati kao jedno moguće stanje svijeta.
Zanemariva relacija dostupnosti postaje ℘A × ℘A, a «mogući
svijet» je vrednovanje propozicijskih slova. Istinitost se definira
pomoću pripadnosti: Vw (p∈A) => akko p ∈ w .
Vratimo se dinamičnoj modalnoj logici. Jezik dinamične
modalne logike omogućuje globalni opis prijelaza izme ¯du S5
modela. S druge strane, jezik S5 logike omogućuje opis lokalne
strukture S5-modela. Dobar primjer za povezivanje dinamične
151