u perspek - Filozofski fakultet u Splitu

Primjedba 3.1 Dokazi prethodnih lema i korolarija su rutinski.
Teorem I.1 Za svaki skup 6 situacija S ⊆ W postoji rečenica
ϕ ∈ LD takva da kϕk W = S.
Dokaz. S je ili prazan skup ili nije. Ako je S = ∅, onda
je ⊥ tražena rečenica jer k⊥k W = ∅. Za slučaj S 6= ∅
definirat ćemo rečenicu koja će isključiti sve situacije koje
nisu u S i uključiti sve situacije koje jesu u S. Za tu
svrhu poslužit će nam rečenice u najkraćoj disjunktivnoj
normalnoj formi. Neka je S = {w1,...,wm} inekajebroj
propozicijskih slova |D| = n. Uočimo da m 5 2 n ,jer
S ⊆ W i W = ℘D.
Najprije definiramo literale λ i j na sljedeći način. Za sve
i ∈{1,...,m} izasvej ∈{1,...,n}
λ i j =
½ lj ako lj ∈ wi
¬lj ako lj /∈ wi.
Nakon toga definiramo traženu rečenicu ϕ na sljedeći način,
ϕ ⇔ ¡ λ 1 1 ∧ ... ∧ λ 1 ¢ m
n ∨ ... ∨ (λ1 ∧ ... ∧ λ m n ) ,
ili u skraćenom zapisu
ϕ ⇔ _
°
Preostaje nam dokazati da °
^
15i5m 15j5n
_
λ i j.
^
15i5m 15j5n
λ i j
°
W
= S, to
6 U ovom se poglavlju istražuju i neka pitanja čije je ispitivanje sugerirao
J. van Benthem [14]. U dokazima nekih tvrdnji koristi se pristup kojega su
zajedno izgradili B. ŽarnićiD.Vukičević: Appendix u [90] str. 48–52 i [80].
36