u perspek - Filozofski fakultet u Splitu

im da je na tom skupu definirana relacija R (manji-od) koja
je irefleksivna (∀x¬R(x, x)), tranzitivna (∀x∀y∀z((R(x, y) ∧
R(y, z)) → R(x, z))), asimetrična (∀x∀y((R(x, y) →
¬R(y, x)))), povezana (∀x∀y(x 6= y → (R(x, y) ∨ R(y,x)))),
da bilo koji podskup od N ima najmanji element (∃x∀y(x 6=
y → R(x, y))) itd. Ukratko, elementi iz N tvorili su niz.
Ernie i Johnny su naučili da ono što obični ljudi nazivaju s 1
zapravo jest najmanji element od N pod R, našli su odgovarajuće
prijevode i za ostale aritmetičke termine. 32 Mogli su dokazati
Peanove aksiome, koji su obični smrtnici morali prihvaćati bez
dokaza. Počeli su dokazivati teoreme. U pogledu istinitosti
aritmetičkih rečenica izme ¯du Erniea i Johnny-a nije bilo spora.
No jednog dana nastao je spor oko pitanja je li broj 3 element
broja 17. Obični ljudi nisu mogli razriješti spor jer jednostavno
nisu mogli pronaći smisao u tom pitanju. Ernie je tvrdio da 3
jest element broja 17 jer je po njegovoj teoriji skupova rečenica
x < y ↔ (x ∈ y ∧ x ⊂ y) teorem, a budući 3 < 17, slijedi
3 ∈ 17. Johnny je osporavao Erniev teorem govoreći da je
pravi teorem o pripadanju brojeva ovaj: x ∈ y ↔ y =
sljedbenik − od(x). Rasprava je razotkrila izvor neslaganja:
za Erniea sljedbenik − od(x) =x ∪{x}, dok je za Johnnya
sljedbenik − od(x) ={x}. Ernijev niz je:
{∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}}} ,...
Johnnyjev niz je:
{∅} , {{∅}} , {{{∅}}} ,...
Javljaju se i druge nesuglasice: za Erniea skup α ima n
članova akko se članovi skupa α mogu postaviti u 1 − 1
korespondenciju s članovima broja n, za Johnnyja skup α
ima n članova akko se članovi skupa α mogu postaviti u
1 − 1 korespondenciju sa skupom brojeva koji su manji-od
n ili jednaki n-u (s time bi se i Ernie složio!). Rješenje
je očigledno: sporne rečenice nisu aritmetičke jer govore o
nestrukturalnim svojstvima «predmeta» a ne o strukturi samoj.
U zabludu sličnu gore spomenutoj zapadaju i oni autori koji
32 Npr. sljedbenik − od(x) =y akko R(x, y) ∧¬∃z(R(x, z) ∧ R(z, y)).
191