u perspek - Filozofski fakultet u Splitu

Lema 3.6 Neka je s1,...,sn tekst iz jezika L!·¡,
hα, γi [s1; ...; sn] =hk4s1 ∧ ... ∧4snk α , k5s1 ∧ ... ∧5snk γ i .
Dokaz. Primijenimo strogu indukciju. U osnovom slučaju
tekst sadrži samo jednu rečenicu. Za svaku od triju rečeničnih
vrsta trebamo pokazati da zadovoljava uvjet iskazan u lemi.
Dokaz izvedimo samo na slučaju rečenične vrste !ϕ. Trebamo
pokazati da hα, γi!ϕ = hk4ϕk α , k5ϕk α i. Po definiciji
2.10, hα, γi [!ϕ] =hk¬ϕk α , kϕk γ i. Po definicijama
3.6 i 3.7,
hk4ϕk α , k5ϕk γ i = hk¬ϕk α , kϕk γ i .
I time smo dokazali slučaj !ϕ. U induktivnom koraku pretpostavimo
da tekst s1; ...; sk sačinjen od k rečenica zadovoljava
uvjet iskazan lemom:
hα, γi [s1; ...; sk] =
= hk4s1 ∧ ... ∧4skk α , k5s1 ∧ ... ∧5skk γ i .
Pod tom pretpostavkom trebamo dokazati da tekst s1; ...; sk; sk+1
sačinjen od k +1rečenica zadovoljava taj uvjet. Primjena
induktivne hipoteze i leme 3.3 daje traženo:
hα, γi [s1; ...; sk; sk+1] =
= hk4s1 ∧ ... ∧4skk α , k5s1 ∧ ... ∧5skk γ i [sk+1] =
¿
k4s1 ∧ ... ∧4skk
=
α ∩k4sk+1k W À
,
=
k5s1 ∧ ... ∧5skk γ ∩k5sk+1k W
=
¿ k4s1 ∧ ... ∧4sk ∧4sk+1k α ,
k5s1 ∧ ... ∧5sk ∧5sk+1k γ
À
.
Lema 3.7 Ako je tekst s1; ...; sn ujezikuL!·¡ konzistentan,
onda je on konzistentan u odnosu na minimalno stanje 0.
46
Dokaz. Trebamo dokazati
∃σ : σ [s1; ...; sn] /∈ F→0[s1; ...; sn] /∈ F.