SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

şeklindedir. ( bm , p ) = 1 olduğundan bmx ≡ 1( mod p)kongrüansıçözülebilirdir ve tek çözümü vardır. Bu kongrüansın çözümü x ≡ b( mod p)ise r ( x) ≡ 0( mod p)kongrüansı ile br ( x) ≡ 0( mod p)kongrüansınınçözümleri aynı ve (7.7) den dolayı f ( x) ≡ 0( mod p)kongrüansı ilebr ( x) ≡ 0( mod p)kongrüansının çözümleri aynıdır. Şu halde aranan g ( x )polinomu olarak br ( x ) polilnomu alınabilir ve ispat tamamlanır.Teorem 7.2. Bir a tamsayısı, f ( x) ≡ 0( mod p)kongrüansının bir çözümü iseöyle bir g ( x ) polinomu vardır kif ( x) ≡ ( x − a) g ( x)( mod p)(7.8)bağıntısı gerçeklenir. Tersine, (7.8) deki koşula uyan bir g ( x ) polinomu varsaa tamsayısı f ( x) ≡ 0( mod p)kongrüansının bir çözümüdür.Kanıt. f ( x ) polinomunu ( x − a)ile bölelim. Böylecef ( x) = ( x − a) g ( x)+ r(7.9)olacak şekilde bir g ( x ) polinomu ve bir r tamsayısı vardır. (7.9) danf ( x) ≡ ( x − a) g ( x) + r ( mod p)(7.10)elde edilir. f ( a) ≡ 0( mod p)olduğundan, buradan r ≡ 0( mod p)olur vebunu (7.10) da kullanarakf x ≡ x − a g x mod p( ) ( ) ( )( )bulunur. Tersine, tamkatsayılı bir g ( x ) polinomu içinf ( x) ≡ ( x − a) g ( x)( mod p)bağıntısı gerçekleniyorsa f ( a) ( a a) g ( a) 0( mod p)a tamsayısının f ( x) 0( mod p)gösterir.≡ − ≡ bulunur ki, bu da≡ kongrüansının bir çözümü olduğunuTeorem 7.3. ( Lagrange Teoremi) p bir asal sayı olmak üzere2na0 + a1 x + a2 x + ... + anx ≡ 0( mod p)( an≡ 0( mod p))kongrüansının en fazla n tane çözümü vardır.Kanıt. İspatı n e göre indüksiyon ile yapalım. Teorem 4.1. den dolayı n = 1için iddia doğrudur. Derecesi 1 f x ≡ 0 mod p kongrüansınınn − olan her ( ) ( )en fazla n − 1 tane çözümünün olduğunu varsayalım ve derecesi n olan birf x ≡ 0 mod p kongrüansını göz önüne alalım. Eğer bu kongrüansın( ) ( )94