SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olduğundanelde edilir.3) 1) de a = 1 alırsak⎛ ab ⎞ ⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ≤ 2 < p⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠⎛ ab ⎞ ⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠p−1⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞21 ≡ ⎜ ⎟(mod p) ⇒ 1 ≡ ⎜ ⎟( mod p)⇒ ⎜ ⎟ = 1⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠elde ederiz.p−1p−1⎛ −1⎞⎛ −1⎞224) ⎜ ⎟ ≡ ( −1) (mod p)ifadesinde ⎜ ⎟ = + 1 , ( − 1) = −1alınırsa,⎝ p ⎠⎝ p ⎠1 ≡ − 1(mod p)ve buradan p | 2 elde edilir ki, bu p ≠ 2 oluşu ile çelişir. Şuhalde kongrüansın her iki yanı aynı işaretli, yani⎛ −1⎞⎜ ⎟ = ( −1)⎝ p ⎠p−122⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞⎛ a ⎞5) ⎜ ⎟ = ±21 olduğundan ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ( ± 1) = 1 buluruz.⎝ p ⎠⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠6) a ≡ b(mod p)olsun. Kongrüans özelliklerinden ve 1) denp−1 p−12a ≡ b(mod p)⇒2⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞a ≡ b (mod p) ⇒ ⎜ ⎟ ≡ ⎜ ⎟(mod p)⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ve buradan ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ bulunur.⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠Aşağıdaki teoremi ispatsız olarak verelim.olmalıdır.Teorem 6.3. p bir tek asal sayı ve ( a,2 p ) = 1 olsun. Bu takdirde⎛ 2 ⎞⎜ ⎟ = −⎝ p ⎠( 1)p2 −18vep−12⎡ ja ⎤t = ∑ ⎢ ⎥⎣ p ⎦j=1⎛ a ⎞⎜ ⎟ = −⎝ p ⎠olmak üzere ( 1 )t2x ≡ 2(mod 61) kongrüansının çözümü var mıdır ?Örnek 6.4.Çözüm.61 2 −1 (61− 1).(61+1) 60.62tek ⎛ 2 ⎞ sayı8 8 815.31⎜ ⎟ = ( − 1) = ( − 1) = ( − 1) = ( − 1) = − 1⎝ 61⎠dir.71